Zenón de Elea. La paradoja de Aquiles y la tortuga

“Por fin, según el cable, la semana pasada la tortuga llegó a la meta.
En rueda de prensa declaró modestamente que siempre temió perder, pues su contrincante le pisó todo el tiempo los talones.
En efecto, una diezmiltrillonésima de segundo después, como una flecha y maldiciendo a Zenón de Elea, llegó Aquiles.”
La tortuga y Aquiles, Augusto Monterroso (1921-2003). 
La cita es una (muy) divertida reflexión sobre una de las paradojas de Zenón de Elea (c.490-430 a.C.). Zenón, discípulo de Parménides, pertenece a la heterogénea mezcla de lo que llamamos “presocráticos”; un conjunto de pensadores que abrieron las puertas a la interpretación del mundo. 

Aquiles curando a Patroclo, herido por una flecha. Fondo de un kylix ático, c. 500 a.C.

Jorge Luis Borges, por razones que luego veremos, ha comentado en muchas ocasiones esta paradoja de Zenón. En concreto, en “Discusión” (1932) le dedica un par de ensayos en exclusiva. En uno de ellos, en primer lugar, expone la paradoja “inmortal”:
“Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar a la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla.”
La paradoja no tiene fácil refutación. Ha permanecido como tal durante veintitrés siglos y aún hoy en día ejerce la fascinación de los retos abstrusos por sutiles. Borges apunta los diferentes intentos de refutarla. La más antigua, de Aristóteles, repetida por Hobbes y expresada por Stuart Mill indica que “atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito”. Esto no soluciona el problema, solamente lo expone. Borges nos recuerda que: “Esa disolución metódica, esa ilimitada caída en precipicios cada vez más minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien. No olvidemos tampoco de atestiguar que los corredores decrecen, no sólo por la disminución visual de la perspectiva, sino por la disminución admirable a que los obliga la ocupación de sitios microscópicos. Realicemos también que esos precipicios eslabonados corrompen el espacio y con mayor vértigo el tiempo vivo, en su doble desesperada persecución de la inmovilidad y del éxtasis”.

Borges, a continuación, comentando la solución de Henri Bergson, dice que éste “admite que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el tiempo”. También la desecha porque aduce que Bergson intenta unir conceptos incompatibles, el tiempo discontinuo y “el espacio divisible hasta lo infinito” (es decir, sin solución de continuidad).
La solución la aporta Bertrand Rusell. Está relacionada con el concepto de límite y el cálculo infinitesimal. 
Es necesario que recordemos que los puntos que componen una recta no tienen dimensión. Es decir, que el número de puntos que hay en un metro, en un decímetro o en “la más honda trayectoria estelar” es el mismo, infinito.
La clave para la resolución de la paradoja se encuentra precisamente en que aceptemos que una medida cualquiera está compuesta por un número infinito de puntos y que cada uno de estos puntos no tiene dimensión. 
En la carrera infinita de Aquiles y la tortuga habrá un momento en el que la tortuga llegue a un punto sin dimensión. En ese punto la alcanzará Aquiles ya que al no haber dimensión ya no hay espacio que recorrer. Esto no deja de ser una descripción más o menos poética. 
En realidad, estamos ante una serie (matemática) absolutamente convergente que es resoluble solamente mediante las funciones que tienden a cero del cálculo infinitesimal.

Ahora bien, el concepto de infinito es una idea, no es algo que pertenezca al mundo material. Ha sido preciso elaborar la “idea”, el concepto, de infinito para poder empezar a comprender el mundo. Recordemos, además, la contrapartida del concepto de infinito, el concepto de “cero”, que resulta ser otra idea tan difícilmente comprensible como su opuesta. 
Borges termina su ensayo con un comentario tan humorístico como perverso e intencional: “Mi opinión, después de las calificadísimas que he presentado, corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé, sin embargo: Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja.
¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector”.

Zenón de Elea. Monasterio de El Escorial.

Jorge Luis Borges practicó y defendió el idealismo. Sus cuentos y sus ensayos destilan afinidad por una visión idealista del mundo. Maria Celeste Bertotto, en una tesis doctoral presentada el 26/03/2009 en la UAM, argumentó la tremenda influencia de Arthur Schopenhauer (1788-1860) sobre Borges. Al parecer el gusto de Borges por Schopenhauer nació durante su estancia en Suiza (Ginebra) durante la Primera Guerral Mundial. Tenía 14 años y estudió en el Lycée Jean Calvin. Allí aprendió francés y alemán y leyó a Shopenhauer. 
La obra más importante de Schopenhauer es “El mundo como voluntad y representación” (Die Welt als Wille und Vorstellung). En pocas ocasiones un título ha sido tan expresivo de su contenido. Por un lado, la “voluntad” se refiere a un impulso vital que acompaña a todos los seres (no solamente los seres humanos). Este impulso vital (“élan vital” le llamaría Bergson) es el que tiene entidad real; los individuos serían partícipes de ese impulso cósmico: “Cada destino personal respira, según el poeta, un halo de divinidad que lo hace partícipe de una suerte de destino general de todos los hombres, sea éste el resultado de un dios, de varios, de una fuerza vital o de una sustancia infinita”. (Bertotto).
Por otro lado, la “representación” intenta poner de manifiesto que, puesto que la realidad es inaprehensible, nuestros sentidos nos permiten crear una representación del mundo. Es decir, que no “vemos” la realidad, sino que elaboramos una especie de “modelo” de dicha realidad con los medios que tenemos. ¿Cuáles son esos medios? En primer lugar, nuestros sentidos, los instrumentos sensoriales mediante los que percibimos estímulos. En segundo lugar, nuestros conocimientos previos, la memoria y los contrastes entre representación y realidad que hemos ido realizando a lo largo de nuestra existencia.
Es decir, el concepto de “representación” es muy cercano (como mínimo) al concepto de “modelo” que utilizamos en el mundo moderno. Tanto la “representación” como el “modelo” son constructos reconfigurables en función de que se vayan modificando y adecuando a las novedades que aparezcan en las investigaciones y experimentos asociados a su estructura. 

Aquiles en combate

Se podría inferir, es una simplificación, que el materialismo domina la escena durante el siglo XIX. Este dominio se rompería en 1911 cuando Ernest Rutherford elabora el “modelo planetario” para explicar cómo funciona el mundo atómico. El mundo microscópico solamente se puede conocer de forma indirecta (no se puede “ver”). A partir de ese momento los avances de la ciencia se producen mediante la creación de modelos y su contraste sistemático con experimentos que los ponen a prueba.
En este caso Borges, estudiando a Schopenhauer en 1915 y escribiendo el ensayo sobre Aquiles y la tortuga en 1932, habría recogido la atmósfera de su momento histórico.
Creemos (erróneamente) que nuestra época es materialista y sin embargo, puesto que nos rodea la incertidumbre, la estamos manejando (e interpretando) constantemente con ideas, modelos y representaciones.

Bibliografía

Jorge Luis Borges. Discusión. Alianza (1989). ISBN 978-8420616148

Arthur Shopenhauer. El mundo como voluntad y representación. Alianza Editorial (2013). ISBN 978-8420674087.

Maria Celeste Bertotto. Borges y los mitos sobre el tiempo desde la visión del mundo como un conglomerado de metáforas. Tesis doctoral 26/03/2009 en la Universidad Autónoma de Madrid.